Halaman
PeluangKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual.3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak.4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).Melalui pembelajaran kombinatorik, siswa mem-per oleh pengalaman belajar1. Mengamati dan menemukan konsep aturan penjumlahan dan perkalian melalui masalah kontekstual2. Mengamati dan menemukan konsep permutasi dan kombinasi melalui masalah kontekstual 3. Menerapkan konsep aturan penjumlahan, perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah sehari-hari A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB3A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
Istilah Penting
84Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
! Gerolamo Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501 di Pavia, Lombardy, Italia. Beliau merupakan seorang ahli matematika,
Italia. Beliau sering dianggap sebagai ahli matematika terbesar dari Renaissance. "
pengaruh buruk bagi keluarganya, namun !
V
Penelitian tentang putaran dadu, didasarkan
dasar sains, bukan sekedar keberuntungan. Teori
Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565. Beliau
yang ia publikasikan dalam bukunya Opus novum de proportionibus.
V &1. Segala perbuatan yang kita lakukan, meskipun perbuatan yang buruk akan menghasilkan hal yang positif dan bermanfaat.2. Memiliki pendirian yang kuat dalam ilmu yang diminati.3. Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi sehingga dapat menggunakan
Matematika85PELUANGAturan PenjumlahanKejadian Saling LepasAturan PerkalianKejadian Saling BebasPermutasiKejadian BersyaratKombinasiAturan PencacahanKejadian Majemuk B. Diagram Alur Konsep
86Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi, dan KombinasiKegiatan 3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian
{
V
Vq q
' 'qq
q q
+ +qq+
%^ ! q * ^ $ Y | } % { !{q q ##qq
Y* Dalam kesempatan ini, kita bukannya akan bermain kartu remi, melainkan
+
kartu beserta banyak cara pengambilannya seperti pada Tabel 3.1.1 berikut.7 http://magazinesofthebeginer.blogspot.co.id/2011/03 C. Materi Pembelajaran
Matematika87
Kegiatan Pengambilan Kartu Remi dan Banyak Caranya' !1.Mengambil satu kartu Ace (A) V ' +42.Mengambil satu kartu QueenV ' +43.Mengambil satu kartu * ^ $ Y | } % { # 134.Mengambil satu kartu Ace hitam V '2'
beserta banyak cara pengambilannya seperti pada Tabel 3.1.2 dan Tabel 3.1.3 berikut.
Kegiatan Pengambilan Kartu Remi dan Banyak Caranya' !5.Mengambil satu kartu Ace atau Queen V ' + V ' +}6.Mengambil satu kartu Ace atau satu kartu V ' + * ^ $ Y | } % { #16|Mengambil satu kartu Ace atau satu kartu Ace hitam}Mengambil satu kartu Queen atau satu kartu
88Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK' !Mengambil satu kartu Queen atau satu kartu Ace hitam10.Mengambil satu kartu ! #Sekarang Anda diminta untuk melengkapi dua kegiatan pengambilan kartu beserta banyak cara pengambilannya.
"
!' !11.Banyak cara mengambil satu kartu Ace (tanpa dikembalikan) kemudian satu kartu Queen VV'+ 'V'+ V'+ +V'+1612.Banyak cara mengambil kartu Ace (tanpa dikembalikan) kemu
Matematika89' !13.- !
V
kembalikan) kemudian Club bernomor prima\
ini.Setelah Anda mengamati kegiatan pengambilan kartu beserta banyak cara
dengan kegiatan itu. Misalnya apakah ada aturan untuk menghitungnya. Nah,
- ! &% -
*
^ !
! !
Tuliskan beberapa pertanyaan Anda pada kotak berikut.
90Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKCoba Anda perhatikan kegiatan nomor 1 sampai dengan nomor 6. Kemungkinan pengambilan kartu pada kegiatan nomor 1 tidak ada yang
*
kemungkinan pengambilan kartu pada kegiatan nomor 1 dan nomor 3. Kedua
!+ pengambilan pada nomor 1 dan nomor 3 merupakan contoh dua kegiatan yang saling lepas
' kegiatan pengambilan pada nomor 1 dan nomor 3 merupakan contoh kegiatan yang tidak saling lepas+
%
nomor 6 dalam tabel berikut. 6 7Nomor 1 dan 2Saling lepasNomor 1 dan 3Tidak saling lepas Nomor 1 dan 4Nomor 2 dan 3Nomor 2 dan 4Nomor 3 dan 4+
Y
%
berikut.' !5.Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau Queen (kegiat an nomor 2)Saling lepas} W $ ! kegiatan nomor 1) + 4 (banyak cara kegiatan nomor 2)
Matematika91' !6.Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau
nomor 3)Tidak saling lepas16 $ ! kegiatan nomor 1) + 13 (kegiatan nomor 3)|Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau satu kartu Ace hitam (kegiatan nomor 4)}Mengambil satu kartu Queen (kegiatan nomor *q
(kegiatan nomor 3)Mengambil satu kartu Queen (kegiatan nomor 2) atau satu kartu Ace hitam (kegiatan nomor 4)10.Mengambil satu kartu ^q
! (kegiatan nomor 4)+ %
%%
%^
' !11.Banyak cara mengambil satu kartu Ace (kegiatan %q kembali kan) kemudian
an nomor 2)Saling lepas% W $ ! kegiatan nomor 1) x 4 banyak cara kegiatan nomor 2)
92Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK' !12.Banyak cara meng ambil kartu Ace (ke giat an nomor 1) (tanpa dikembalikan)
(kegiatan nomor 3)Tidak saling lepas13.Banyak cara mengambil kartu Club bernomor
q V
nomor primaNah sekarang Anda dapat menyimpulkan sebagai berikut.1. Apabila kegiatan 1 dan kegiatan 2 adalah dua kegiatan yang saling
% n cara dan kegiatan 2 m ! *
m + n. Aturan ini disebut dengan aturan penjumlahan.2. Apabila kegiatan nomor 1 dan kegiatan nomor 3 adalah dua kegiatan
% n ! ^ m cara, maka kegiatan yang
%
^
mn. Aturan ini disebut dengan aturan perkalian.
n kegiatan
\
dalam tempat yang disediakan berikut.
Matematika93 Setelah Anda memperoleh aturan dalam perhitungan, yaitu aturan
$
menerapkan aturan tersebut. Mintalah bantuan guru apabila Anda menemui kesulitan.'
"
Anda.Kegiatan 3.1.2 Penyusunan dan Pengambilan+
adalah dua kegiatan yang berbeda. Sebagai contoh, apabila Anda mempunyai ! V ' +q
!
!
;
perbedaan dua kegiatan tersebut, maka lakukan kegiatan berikut. Silakan Anda melakukan kegiatan ini secara berkelompok 3–4 orang."
% " #
5 "
% "
94Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK+
q untuk melakukan kegiatan penyusunan atau pengambilan kartu (tanpa pengembalian) dan kemudian menuliskan hasilnya seperti pada tabel berikut.
& Kegiatan Penyusunan dan Pengambilan Kartu' !1.Menyusun 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace V ' V V + ' V ' ' + V ' + + V + ' + 122.Mengambil 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace V ' V V + ' V ' ' + V ' + + V + ' + 63.Menyusun 3 kartu Ace dari 4 kartu Ace4.Mengambil 3 kartu Ace dari 4 kartu Ace5.Menyusun 4 kartu Ace dari 4 kartu Ace6.Mengambil 4 kartu Ace dari 4 kartu Ace|Menyusun 2 kartu dari 5 kar*V ^V $V YV V}Mengambil 2 kartu dari 5 *V ^V $V YV V
Matematika95\
ini. +
&
!
' !
&%
2. Apakah ada cara atau formula umum untuk menentukan banyak cara
!
^
!
Tuliskan beberapa pertanyaan Anda pada kotak berikut dan Anda boleh menggunakan contoh pertanyaan tersebut.
96Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'
#
* ! $ ! V ' +q nomor 1), maka diperoleh semua susunan seperti pada Tabel 1.4. Dalam hal
* !
V '
' V
\
* ! $ ! V ' +q *q
V '
' V+ ^
^ ! $ ! V ' +q
V ' V ' ' V ' V V ' ' V
V ' \ $
^ ! $ ! V ' +q V ' V ' ' V ' V V ' ' V
+ Y | }+
Kalau dalam penyusunan urutan diperhatikan, tetapi dalam pengambilan urutan tidak diperhatikan. Kesamaan dari penyusunan dan pengambilan adalah tidak
V V
V V
pengulangan
pengembalian.
* ! $ ! V ' +q contoh dari permutasi 2 unsur dari 4 unsur, dinotasikan dengan 4P2 atau P(4,2). '
* ! $ ! V ' +qmerupakan contoh dari kombinasi 2 unsur dari 4 unsur, dinotasikan dengan 4C2 atau C$ *q+
! &
r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari nunsur tanpa pengulangan dan dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) dengan 0 < rn. #
r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari nunsur tanpa pengembalian dan dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) dengan 0 < rn.
Matematika97Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda
Setelah Anda mengerti tentang permutasi dan kombinasi, diskusikan dalam kelompokmu untuk menuliskan beberapa contoh permutasi dan kombinasi dan dicoba untuk dihitung berapa nilai dari permutasi dan kombinasi tersebut. '
#
"
kelompok dalam menyelesaikan soal. Tuliskan hasil diskusi Anda pada kotak
98Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh 3.1.2Kegiatan 3.1.3 Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapannya'
dilakukan proses untuk menemukan rumus permutasi r unsur dari n unsur. Sebelum menurunkan rumus, beberapa definisi, istilah dan notasi yang berkenaan dengan masalah ini perlu diketahui dan dipahami.'9 7= 4 9 = $E ;%Untuk suatu n bilangan asli, n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai1. nWn (n – 1) ... 2 %W% 2 3 ... (n – 1) n2. W%% YWY 4 3 2 %W%** ^$ W^ 2 1 + 4 3 2 %W*$W^^ ^$ W^ 2 1) (4 3 2 %q W*$W%$$4. 5! 5432154 203!3 2 1Sekarang silakan Anda berdiskusi dengan teman sebangkumu (bersebelahan) ! ! "
! !
r unsur dari n unsur.- !
* ! $ ! V ' +qContoh 3.1.1
Matematika99PenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan dua kotak sebagai tempat pengaturan dua kartu Ace tersebut, misalnya (1)(2). . .. . .# %q
$ ! V ' +
pada kotak (1) ada 4 kemungkinan.Pada kotak (2) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah
%q &{ %q
V *q
' +atau{ %q
' *q
V +{ %q
*q
V ' +{ %q
+ *q
V ' Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut.Kartu I Kartu II V ' + ' V + V ' + + V ' Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan dan kotak (2) ada 3 kemungkinan. (1)(2)43
100Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 4^W%* $^W4321 4!21 (4 2)!- !
^ ! $ ! V ' +qPenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan tiga kotak sebagai tempat pengaturan tiga kartu Ace tersebut, misalnya (1)(2)(3). . .. . .. . .# %q
$ ! V ' +
pada kotak (1) ada 4 kemungkinan.Pada kotak (2) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), yaitu{ %q
V *q
' +{ %q
' *q
V +{ %q
*q
V ' +{ %q
+ *q
V ' Pada kotak (3) hanya dapat diisi oleh 2 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu pada kotak (2) , yaitu{ %q
V *q
' ^q
+{ %q
V *q
^q
' +{ %q
V *q
+ ^q
' { %q
' *q
V ^q
+{ %q
' *q
^q
V +Contoh 3.1.3
Matematika101{ %q
' *q
+ ^q
V { %q
*q
V ^q
' +{ %q
*q
' ^q
V +{ %q
*q
+ ^q
V '{ %q
+ *q
V ^q
' { %q
+ *q
' ^q
V { %q
+ *q
^q
V 'Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut.Kartu I Kartu II Kartu III V ' + ' + + ' ' V + V + + V V ' + ' V + + V '
102Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK + V ' ' V V 'Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan, kotak (2) ada 3 kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu (1)(2)(3)432Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 43*W*$ $32 W4321 4!1(43)!.\ !
^ Y *V ^V $V YV VPenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan tiga kotak sebagai Y *V ^V $V YV V
(1)(2)(3). . .. . .. . .Karena kartunya terdapat 5, maka kotak (1) dapat diisi oleh 5 kartu, sehingga pada kotak (1) ada 5 kemungkinan. Karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal 4 yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat 4 kemungkinan.Pada kotak (3) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu pada kotak (2). Silakan Anda membuat diagram batang untuk menggambarkan kemungkinan tersebut. Apa yang { %q Y *q ^kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu Contoh 3.1.4
Matematika103(1)(2)(3)543Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 54^W Y4^W54321 5!21(5 3)!.Tentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu.PenyelesaianAnda dapat menyelesaikan masalah ini dengan langkah sebagai berikut.– Kartu pertama dapat dibagikan kepada 5 pemain, sehingga banyak cara membagikan kartu pertama sebanyak 5 kemungkinan.– Karena satu pemain sudah mendapat 1 kartu, maka tinggal 4 pemain yang dapat dibagikan kartu kedua, sehingga banyak cara membagikan kartu kedua sebanyak 4 kemungkinan.– Kartu ketiga (terakhir) dapat dibagikan kepada 3 pemain, karena 2
% ' ! membagikan kartu ketiga sebanyak 3 kemungkinan.Dengan menggunakan prinsip perkalian, maka banyak cara mendistribusikan 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu sama dengan 54^W54321 5!21(5 3)!W\
ini.Contoh 3.1.5
104Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSetelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.2 sampai Contoh 3.1.5, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi r unsur dari n
*
r unsur dari n unsur dengan r > n3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur berbeda kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah permutasi r unsur dari n
&Mari kita menurunkan rumus untuk banyak permutasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena permutasi r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari n
permutasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nPrWP(n, rqW– Untuk 0 < , akan digunakan r kotak dalam menentukan banyak permutasi r unsur dari n, yaitu(1)(2)(3). . .(r). . .. . .. . .. . .. . .Karena terdapat n unsur, maka kotak (1) dapat diisi oleh n kartu, sehingga pada kotak (1) ada n kemungkinan.
Matematika105Sifat 6.8Karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal n – 1yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat n – 1kemungkinan.Dengan demikian untuk kotak (3) terdapat n – 2 kemungkinan, dan seterusnya hingga kotak ke (r) terdapat (n – r + 1) kemungkinan.Jadi kemungkinan pada kotak (1), (2), . . . (rq
&(1)(2)(3). . .(r)nn – 1 n – 2. . .n – r + 1Dengan aturan perkalian diperoleh banyak permutasi r unsur dari n. nPrWP(n,rqWn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1) W( 1) ( 2) ... (1) ( ) ... 2 1!()...21()!nnnnrnrnrnr.Jadi banyak permutasi r unsur dari n unsur, nPrWP(n,rq W!()!nnr, untuk 0 < .Dalam kasus r = n, maka nPn = P(n,nqWn! dan disebut banyak permutasi n unsur. Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur. ;
berikut.– Unsur pertama dapat didistribusikan ke n tempat berbeda, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur pertama adalah n cara.– Karena 1 tempat sudah terisi unsur pertama sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur kedua adalah n – 1 cara.– Karena 2 tempat sudah terisi unsur pertama dan kedua sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur ketiga adalah n – 1 cara.– Demikian seterusnya, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur r) sebanyak (n – r + 1) cara.
106Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK{
! distribusi kan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur adalahn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1qWP(n, rqW!()!nnr.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda
KesimpulanSetelah Anda mengerti menemukan rumus untuk permutasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan
'
kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang
\
Matematika107Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya
permutasi r unsur dari n
'
tentang kombinasi r unsur dari n unsur."
! !
r unsur dari n unsur dan hubungannya dengan permutasi r unsur dari n unsur.- !
* ! $ ! V ' +qPenyelesaian- !
* ! $ ! V ' +q
V ' V V + ' ' + +
V ' + * V ' V V + ' ' + +'
!
* ! $ ! V ' +q !
*
dari 4 unsur, 2C4 atau C(4,2). Sedangkan banyak cara menyusun 2 kartu Ace $ ! V ' +q !
*unsur dari 4 unsur, 2P4 atau P(4, 2).#
!
*
$
P(4, 2) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C$ *q V ' V V + ' ' + +
V '
2 unsur yaitu P* *q
V V + ' ' + +
P(2, 2). Jadi Contoh 3.1.6
108Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKbanyak banyak cara permutasi 2 unsur dari 4 unsur P(4, 2) sama dengan banyak cara kombinasi 2 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 2 unsur P(2, 2) atau P$ *qWC(4,2) P(2, 2). Sehingga diperoleh C$ *qW(4,2)(2,2)PP.- !
^ ! $ ! V ' +qPenyelesaian- !
^ ! $ ! V ' +q
^ V ' V + ' +
V ' + ^ V ' V + ' +- !
^ ! $ ! V ' +qmerupakan contoh dari kombinasi 3 unsur dari 4 unsur, 3C4 atau C(4, 3),
!
^ ! $ ! V ' +q !
^
$
^$ P(4, 3).#
!
^
$
P(4, 3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C$ ^q V ' + V + ' +
V ' +
^
^ ^q +
V + ' +
^
P(3, 3). Jadi banyak banyak cara permutasi 3 unsur dari 4 unsur P(4, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau P$ ^qWC(4,3) P(3, 3). Sehingga diperoleh C$ ^qW(4,3)(3,3)PPContoh 3.1.7
Matematika109\ !
^ Y *V ^V $V YV VPenyelesaian- !
^ ! Y *V ^V $V YV V
*V ^V $V YV V ^ } &*V ^V $V *V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V- !
^ Y *V ^V $V YV V contoh dari kombinasi 3 unsur dari 5 unsur, 3C5 atau C(5,3), sedangkan banyak !
^ Y *V ^V $V YV V ! dari permutasi 3 unsur dari 5 unsur, 3P5 atau P(5, 3).#
!
^
Y
P(5,3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur CY ^q *V ^V $V *V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V
*V ^V $V
^
^ ^q +
*V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V
^
^ ^q{ cara permutasi 3 unsur dari 5 unsur P(5, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 5 unsur C(5, 3) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau PY ^qWC(5, 3) P(3, 3). Sehingga diperoleh CY ^qW(5,3)(3,3)PPTentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur.Contoh 3.1.8Contoh 3.1.9
110Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKPenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah mengambil 3 tempat dari 5 tempat berbeda yang ada untuk ditempati oleh 3 unsur yang sama. Dengan demikian, masalah ini sama halnya seperti masalah pada contoh 3. Jadi banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur adalah C(5,3).\
ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.6 sampai Contoh ^% "
pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah kombinasi r unsur dari n
*
r unsur dari n unsur dengan r > n3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur yang sama kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah kombinasi r unsur dari n
&
Matematika111Mari kita menurunkan rumus untuk banyak kombinasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena kombinasi r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari n
sehingga banyak kombinasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nCr WC(n, rqW– Untuk 0 , misalkan banyak kombinasi r unsur dari n unsur adalah C(n, r), maka banyak kombinasi ini sama dengan banyak himpunan bagian n unsur yang mempunyai r unsur. Sedangkan permutasi r unsur dari nunsur diperoleh dari penyusunan dari setiap himpunan bagian dari n unsur yang memuat r unsur dari n unsur yaitu sebanyak P(r, r), dengan kata lain
r unsur dari n unsur diperoleh
r dari n unsur C(n, r) sebanyak P(r, r). Dengan demikian banyak permutasi r unsur dari n unsur P(n, r) sama dengan banyak kombinasi r unsur dari n unsur C(n, r) dikalikan dengan banyak permutasi untuk r unsur P(r, r), yaitu P(n, rqWC(n, r) P(r, r) atau C(n, rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r.Jadi banyak kombinasi r unsur dari n unsur, nCrWC(n,rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r,untuk .Dalam kasus r = n, maka nCn WC(n, nqW%Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi %
;
mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak 1 unsur dapat dipandang sebagai mengambil r tempat dari n tempat berbeda untuk ditempati oleh r unsur yang sama.
r unsur dari n unsur berbeda, dan ini merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur. Jadi masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda
112Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur yang rumusnya telah diturunkan di atas, yaitu C(n, rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda
KesimpulanSetelah Anda mengerti menemukan rumus untuk kombinasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan
'
kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang
\
Matematika113Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya
rumus permutasi n unsur, yaitu P(n, nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah semuanya berbeda. Sekarang bagaimana apabila dalam n unsur terdapat beberapa unsur yang sama, bagaimana rumus untuk masalah ini. Untuk
! contoh berikut."
! !
beberapa unsur yang sama.Tentukan banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C.PenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C ke dalam 6 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan 6 tempat ini dapat diilustrasikan sebagai 6 kotak berikut. (1)(2)(3)(4)(5)(6). . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan 3 huruf A ke dalam 6 kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(6, 3).– Berikutnya, karena 3 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf B ke dalam 3 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(3, 2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1, 1).Contoh 3.1.10
114Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C adalah C(6, 3) C(3, 2) C% %q W6! 3! 1!6!3!3! 2!1! 1!0! 3!2!1!W- !
';'; Penyelesaian ';';
| *huruf S, 2 huruf U, 2 huruf N dan 1 huruf A. Seperti halnya Contoh 3.1.10, masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 2 huruf S, 2 huruf ; * %
|
% "
|
| (1)(2)(3)(4)(5)(6)|q. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.
* '
|
sama dengan C| *q– Berikutnya, karena 2 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf U ke dalam 5 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(5,2). '
$
* kedalam 3 kotak yang tersisi, sehingga banyak cara adalah C(3,2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1,1).Dengan aturan perkalian, diperoleh cara penyusunan kata yang disusun dari kata ’SUSUNAN” adalah C| *qC(5,2) C(3,2) C% %qW7! 5! 3! 1!7!2!5! 2!3! 2!1! 1!0! 2!2!2!1!W^Contoh 3.1.11
Matematika115\
ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.10 dan Contoh 3.1.11, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan berkaitan dengan permutasi untuk beberapa unsur yang sama. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi n1, n2, n3, . . . nkunsur dari n
Mari kita menurunkan rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1
pertama, n2
n3
nk
k(nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk).
116Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKUntuk menentukan masalah banyak permutasi ini, maka masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan n1
n2
kedua, n3
nk
k ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan n tempat ini dapat diilustrasikan sebagai n kotak berikut. (1)(2)(3). . .(n). . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan n1
pertama ke dalam n kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(n, n1) cara dan tersisa n – n1 kotak.– Berikutnya, letakkan n2
n – n1 kotak yang tersisa, maka terdapat sebanyak C(n – n1, n2) cara, dan tersisa n – n1– n2.– '
n3
n – n1 – n2 kotak tersisi, sehingga terdapat sebanyak C(n – n1 – n2 , n3).– Kemudian dilakukan peletakan n4
hingga terakhir meletakkan nk
k ke dalam n – n1 – n2 – n3 – . . . – nk–1Wnkkotak yang tersisa dengan C(n – n1 – n2, n3 – . . . – nk – 1 – nk, nk) cara.Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak permutasi n unsur yang terdiri dari n1
n2
n3
nk
k sama dengan C(n, n1) ·C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2, n3) . . . C(n – n1 – n2 – . . . – nk–1, nk)W12111 12112123123(.)!()! ( )!!()! !()! !()!!0!kknn n . .nnnn nnnn nn n nn n n nn n nnW1123! ! ! ... !knnn nnJadi rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1
n2unsur
n3
nk
k (nWn1 + n2 + r3 + . . . + nk) adalah 1123! ! ! ... !knnn nn.
Matematika117Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan
beberapa unsur yang sama.KesimpulanSetelah Anda menemukan rumus untuk permutasi n unsur yang terdiri dari n1
n2
n3
nk
k (nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk) yaitu secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan masalah permutasi dengan unsur yang sama, kemudian saling menukar soal
'
\
n!n1!n2!n3! . . . nk!,
118Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapan nya
permutasi n unsur, yaitu P(n,nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah
'
! (lurus). Sebagai contoh, apabila kita ingin menyusun 3 unsur A, B, C, maka
^W &AB CAC BBACBCACABCBAAkan tetapi, apabila kita susun secara melingkar maka ketiga susunan
q
+
(circular permutation).'
berikut.
Matematika119"
! !
berikut.Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C.PenyelesaianSalah satu susunan permutasi siklis adalah A, B, C (A unsur paling atas/depan). yang ekuivalen dengan B, C , A (B unsur paling atas/depan)
C, A, B (C unsur paling atas/ depan).Akan tetapi ketiga permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda, yaitu A, B, CB, C, AC, A, B+
A, C, BB, A, CC, B, AContoh 3.1.12
120Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKIni berarti 1 susunan permutasi siklis berkorespondensi dengan 3 susunan permutasi mendatar. Jadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari 3 unsur A, B, C adalah 3! W !
^
dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 3 unsur adalah 3!3W*W*! Tentukan banyak permutasi siklis dari 4 unsur.PenyelesaianMisalkan 4 unsur itu diberi nama x1, x2, x3, x4. Maka salah satu susunan permutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4 (x1 unsur paling atas/depan).Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2 dan urutannya seperti di atas, yaitu x2, x3, x4, x1
yang ekuivalen dengan susunan sebelumnya. Contoh 3.1.13
Matematika121+
` x3(x3, x4, x1, x2) dan x4(x4, x1, x2, x3q
,
x1, x2, x3, x4. Dengan demikian keempat susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi keempat permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4x2, x3, x4, x1x3, x4, x1, x2x4, x1, x2, x3Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan 4 susunan permutasi mendatar. +
x1, x2, x4, x3 akan berkorespondensi dengan 4 permutasi datar dengan meletakkan unsur paling depan x1, x2, x4, dan x3 tetapi dalam urutan yang sama, yaitux1, x2, x4, x3x2, x4, x3, x1x3, x1, x2, x4x4, x3, x1, x2 , ,
122Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK , . {
q $
$W*$! sedangkan setiap 4 susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 4 unsur adalah 4!4W^W! Tentukan banyak permutasi siklis dari 5 unsur.PenyelesaianMisalkan 5 unsur itu diberi nama x1, x2, x3, x4, x5. Maka salah satu susunan per mutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4, x5 (x1 unsur paling atas/depan). Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2 dan urutannya seperti di atas, yaitu x2, x3, x4, x5, x1
yang ekuivalen dengan susunan sebelumnya. Contoh 3.1.14
Matematika123+
` x3(x3, x4, x5, x1, x2), x4(x4, x5, x1, x2, x3) dan x5(x5, x1, x2, x3, x4q
turut adalah , ,
x1, x2, x3, x4 , x5. Dengan demikian kelima susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi kelima permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4, x5x2, x3, x4, x5, x1x3, x4, x5, x1, x2x4, x5, x1, x2, x3x5, x1, x2, x3, x4.Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan 5 susunan permutasi mendatar. +
x1, x2, x3, x5, x4 akan berkorespondensi dengan 5 permutasi datar dengan meletakkan unsur paling depan x1, x2, x3, x5, dan x4 tetapi dalam urutan yang sama, yaitux1, x2, x3, x5, x4x2, x3, x5, x4, x1x3, x5, x4, x1, x2x5, x4, x1, x2, x3x4, x1, x2, x3, x5.
124Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK{
q Y
YW%*! sedangkan setiap 5 susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 5 unsur adalah 5!5W$W*! \
ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.12, Contoh 3.1.13 dan Contoh 3.1.14, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan berkaitan dengan permutasi siklis. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi siklis dari n
&
Matematika125Mari kita menurunkan rumus permutasi siklis n unsur.Misalkan n unsur itu diberi nama x1, x2, x3, . . . , xn. Maka salah satu susunan permutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4, . . . , xn (x1 unsur paling atas/depan). Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2, x3, x4, . . . , xn dan urutannya
, , . . . ,
x1, x2, x3, . . . , xn. Dengan demikian n susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi n permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4, . . . , xnx2, x3, x4, . . . , xn, x1x3, x4, . . . , xn, x1, x2. . .xn, x1, x2, x3, . . . , xn – 1.Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan n susunan permutasi mendatar.
126Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKJadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari n unsur adalah n! cara, sedangkan setiap n susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk n unsur adalah!nnWn – 1)! cara.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda
#
&Setelah Anda menemukan rumus untuk permutasi siklis n unsur yaitu (n – 1)!,secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan masalah permutasi dengan unsur yang sama, kemudian saling menukar soal
'
\
Matematika127Latihan Soal 3. 1%
*$
%
!
*
yaitu makan siang, pergi ke kantor pos, pergi ke bank, dan membeli surat \ !
3. Tentukan nilai n pada persamaan P(n % ^qWP(n, 4). $ + * ^ Y | }+
{
pengulangan angka, a. Tentukan banyaknya bilangan yang bisa diperoleh, b. Tentukan banyaknya bilangan genap yang bisa diperoleh, ! \
d. Tentukan banyaknya bilangan kelipatan 5 yang bisa diperoleh, e. Tentukan banyaknya bilangan kurang dari 400 yang bisa diperoleh.Y -
A, B, C, D, E, F, G, dan H yang memuat a. susunan BCD, b. susunan CFGA, c. susunan BA atau GA, d. susunan ABC atau DE, e. susunan ABC atau CDE, f. susunan CBA atau BED.
128Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 3.2 Kejadian Majemuk, Peluang Saling Lepas, Peluang Saling Bebas, dan Peluang BersyaratKegiatan 3.2.1 Kejadian Majemuk
pertandingan sepak bola dan pelantunan dadu pada acara arisan PKK.
#
!
{(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), Yq q\
ini. 7 www.m.everythingmaths.com
Matematika129Setelah Anda mengamati gambar sebuah koin dan sebuah dadu di atas,
"salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. P
*
\
+
\
Penyelesaian"
& W #
W #
¢ W #
Contoh 3.2.1
130Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK # =#
+
&£q # ==___________________________________________________________+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ # ===___________________________________________________________+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
^Y
^Y \ Penyelesaian"
& W#
-W# VW#
^Y +W#
^Y # =#
+
& B) # ==#
^Y
35 tahun+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥Contoh 3.2.2
Matematika131 # ===#
^Y +
& C) # =F#
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
35 tahun+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ # F___________________________________________________________+
&- C) # F=___________________________________________________________+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
*
! '
* #
\ Penyelesaian"
&;W#
¦W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ # =# #
! +
&;V)Contoh 3.2.3
132Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK # ==# #
! +
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥\
'
+
\
Matematika133Kegiatan 3.2.2 Peluang Saling LepasPada kegiatan arisan biasanya dilakukan pelantunan dua dadu sebanyak satu kali untuk menentukan anggota yang akan mendapatkan uang arisan yang
berhak untuk mendapatkan uang tersebut. Gambar 3.2.2 merupakan tabel hasil pelantunan dua dadu sebanyak satu kali secara bersamaan."
!
* - !
^
!
* ^ ! &Banyaknya sampel keseluruhan adalah 36'qW^'
* % W% %q'
^ * -W% *q * %q7 : www.tugask5.blogspot.com
134Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSehingga peluang munculnya mata dadu 2 atau 3 adalahP ( A -q W q-qW1236 36W336W112\
ini.Setelah Anda mengamati tabel hasil pelantunan dua dadu sebanyak satu kali
!
saling lepas. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.% #
* -
\
Matematika135
pertanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang
+ diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan.Dua dadu dilemparkan satu kali secara bersamaan. Tentukan peluang muncul
Y |Penyelesaian"
& W# !
Y-W# !
|#
!
Y
!
|
!
Y
| ! &Banyaknya sampel keseluruhan 'qW^'
Y W% $q * ^q ^ *q $ %q-
Y qW$Contoh 3.2.4
136Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'
|-W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥-
|-qW¥¥¥¥¥¥P ( A -q W q-qW... ...36 36W...36W......{
!
Y
|
!
______________ '
! !
%
\ Y
\'
^
* |
* Y
\
Penyelesaian"
& W#
\W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¢W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥' W#
* \ W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥Contoh 3.2.5
Matematika137 # =Pelamar lulusan PTN atau lulusan PTS+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥#
\
\'
\
\' ! &P ( P q WqqW10 515 15W......W% # ==Pelamar ________________________atau ________________________+
&¢ S )#
*
*
*
* ! &P ( R 'q W¢q'qW3715 15W......W23
138Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK # ===Pelamar ____________________________________________________+
&¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥#
¥_____________________________________________________________________________________________________________________________________
*
! &P ( ..... ©q W©q©qW... ...... ...W......W......Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang saling lepas dan rumus peluang
ini.
Matematika139'
+
\
Kegiatan 3.2.3 Peluang Saling Bebas
!
!
* Y Penyelesaian"
& W# !
* -W# !
Y 7 www.2pc-lot-creative-multi-color.com
140Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK#
!
* !
Y
!
* Y ! &Banyaknya sampel keseluruhan 'qW^'
!
* W* %q * *q * ^q * $q * Yq * q-
!
* qW'
!
Y -W% Yq * Yq ^ Yq $ Yq Y Yq Yq-
!
Y -qWP ( A -q W q-qW6636 36W1166W136{
!
* !
Y
kali secara bersamaan adalah 136.\
ini.
Matematika141Setelah Anda melakukan pengamatan di atas, buat pertanyaan agar Anda dapat
"
adalah sebagai berikut.% #
* -
\
tanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang
+ diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan. Sebuah dadu dan sebuah koin dilantunkan secara bersamaan sebanyak satu kali, berapa peluang munculnya mata dadu genap pada dadu dan munculnya q PenyelesaianMisalkanW# !
W# !
q #
!
!
q koin. Contoh 3.2.6
142Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
!
q ! &Banyaknya sampel keseluruhan 'qW%*Sampel dari munculnya mata dadu genap pada dadu W* A), (2,G), (4,A), (4,G), (6,A), (6,GqBanyaknya sampel munculnya mata dadu genap pada daduqWSampel dari munculnya Gambar (G) pada koinW% G), (2,G), (3,G), (4,G), (5,G), (6,GqBanyaknya sampel munculnya gambar (G) pada koinqWP ( P qWqqW6612 12W1122W14Jadi peluang munculnya mata dadu genap pada dadu dan munculnya gambar (G) pada koin pada pelantunan sebuah dadu dan sebuah koin sebanyak satu kali secara bersamaan adalah 14.+
-
| %%
PenyelesaianMisalkanY1W# !
|
Y2W# !
|
Contoh 3.2.7
Matematika143Z1W# !
%%
Z2W# !
%%
#
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥______________________________________________________________________________________________________________________
!
| %%
! &P ( Y1 Z2 ) (Z1 Y2q W«1) P(Z2) + P(Y2) P(Z1) W11 116 ...... ...W1 1 ...... ...W......{
!
| %%
______________Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang saling bebas dan rumus peluang
ini.
144Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'
+
\
Kegiatan 3.2.4 Peluang BersyaratApabila diambil dua kartu secara acak satu persatu tanpa pengembalian,
! &"
& W#
-W#
#
adalahP ( A -q W q-¬ qW13 1252 51W1562.652W351
Matematika145\
ini. Setelah Anda melakukan pengamatan di atas, buat pertanyaan agar Anda
"
adalah sebagai berikut.% #
* -
\
pertanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang
+ diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan.
146Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'
-
*
!
% "
&VW#
+W#
*
!
%#
*
!
%
*
!
% ! &P ( C +q WVq+¬VqW26 ...52 ...W......W......Jadi peluang terambilnya kartu yang lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari %
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
*
&" >"?G >G?Eksekutif Puncak (EP)%}2Eksekutif Menengah (EM)3624<
- <-q24Contoh 3.2.8Contoh 3.2.9
Matematika1471. Jika dari 200 eksekutif tersebut diambil secara acak seorang eksekutif,
! PenyelesaianPeluang terpilih eksekutif pria atau eksekutif puncak didapat dengan ! &P ( P <q Wq<q£<qW78 20 ......200 200W......W25Jadi peluang terpilih eksekutif pria atau eksekutif puncak adalah ____________2. Dipilih 2 orang eksekutif secara acak, berapa peluangnya terpilih seorang
Penyelesaian
! !
! &£®q Wq®qW78 ...200 ...W9.51640.000W......Jadi peluang terpilih seorang eksekutif pria dan seorang eksekutif
! !
____________
148Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK3. Berapa peluang terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih
Penyelesaian
! &P (P1 P2q W1) P ( P2¬1)W78 ...200 ...W......W1510{
turut adalah ________Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang bersyarat dan rumus peluang
Matematika149'
+
\
Latihan Soal 3.21. Sekelompok ahli biologi merencanakan akan mengadakan penelitian
'
\ ! ! -
V
\ ^ 2. Sebuah kota memiliki satu unit kendaraan pemadam kebakaran dan satu unit kendaraan ambulance yang tersedia dalam keadaan darurat. Peluang
}
!
*
^ {
*
|
-
*
*
150Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK$ '
%Y
}
$
biru, dan 3 spidol putih. Spidol pertama diambil secara acak dan tidak
! ! dikembalikan.
biru!
! !
5. Terdapat 50 lembar undian dengan nomor 1, 2, 3, . . . , 50, terdapat 3 nomor yang berisi hadiah. Apabila seorang panitia mengambil lembar undian
% +
%Y
%*
! q
- !
! 2. Ada berapa banyak susunan berbeda yang terdiri atas 3 huruf dari kata -¢ V + -¢ 3. a. Tentukan banyaknya cara 3 orang duduk pada 4 kursi yang terletak sebaris. b. Tentukan banyaknya cara 5 orang duduk pada 5 kursi yang terletak sebaris. ! }
*
-"
$
\ ! } ^
baris A. $ ' |
$
^
\
Uji Kompetensi
Matematika151a. tidak ada dua buku dengan pengarang sama yang saling berdekatan,
! oleh pengarang yang sama. 5. Dalam suatu pertemuan kecil yang dihadiri oleh 3 orang pria dan 3 orang
a. Berapa banyak cara mereka duduk. - !
berdekatan.! - ! berdekatan. '
%
%| ;
** ^
* V
*% -
}
&a. Ban mobil merk Goodyear atau Bridgestone.b. Ban mobil merk Uniroyal, Continental, atau Bridgestone .| '
$
^ logam lima ratus rupiah. Dompet yang kedua berisi 3 buah uang logam seribu rupiah dan 5 buah uang logam lima ratus rupiah. Sebuah uang logam diambil dari dompet pertama dan dimasukkan pada dompet kedua. Jika kemudian diambil sekeping uang logam dari dompet kedua, berapa
} +
"
¢
%
¦ ^
¦ %
̄
^
¦ %
¦ Y
̄
-
! !
̄
152Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
!
%* -
*
|Y~ -
*Y~
! !
& +
parub. Diperoleh orang yang merokok atau orang yang mengidap penyakit ! +
yang tidak merokok 10. Pemain A dan B bermain catur 12 babak dengan 6 kali dimenangkan oleh pemain A, 4 kali dimenangkan oleh pemain B, dan 2 kali seri. Dalam
^
&a. Pemain A dan B menang bergantianb. Pemain B menang paling sedikit satu babak